3.15. Биссектрисы углов A и C параллелограмма ABCD пересекают его диагональ BD в точках E и F соответственно. Докажите, что четырёхугольник AECF — параллелограмм.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому центральная симметрия с центром O переводит A в C, D в B и прямую BD в себя.

Эта симметрия переводит биссектрису угла A в биссектрису угла C. Поэтому точка E переходит в точку F. Значит, O — середина отрезка EF. По свойству параллелограмма O также середина AC.

Следовательно, диагонали четырёхугольника AECF — AC и EF — делятся точкой пересечения пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: AECF — параллелограмм.