3.18. В треугольнике ABC медиана BM перпендикулярна стороне BC, AB : BC = 2 : 1. Найдите угол ABC.

Пусть \(BC=x\), тогда \(AB=2x\). Выберем координаты: \(B=(0,0)\), \(C=(x,0)\). Так как BM перпендикулярна BC, точка M лежит на вертикальной прямой через B.

Обозначим \(A=(u,v)\). Из \(AB=2x\) следует \(u^2+v^2=4x^2\). Поскольку M — середина AC, её абсцисса равна \((u+x)/2\). Условие BM ⟂ BC означает, что абсцисса M равна нулю, то есть \(u=-x\).

Тогда \(v^2=4x^2-x^2=3x^2\). Для угла ABC имеем \(\cos\angle ABC=u/AB=-x/(2x)=-1/2\). Следовательно, \(\angle ABC=120^\circ\).

Ответ: 120°.