3.19. Докажите признак равенства треугольников по медиане и углам, на которые она разбивает угол треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и A′B′C′ проведены медианы AM и A′M′ к сторонам BC и B′C′. Предположим, что AM = A′M′ и углы, на которые эти медианы делят углы при вершинах A и A′, соответственно равны: \(\angle BAM=\angle B′A′M′\), \(\angle MAC=\angle M′A′C′\).

Докажем, что треугольники равны. Рассмотрим треугольники ABM и A′B′M′: в них равны сторона AM = A′M′ и углы при A. Кроме того, поскольку M и M′ — середины оснований, \(BM=CM\) и \(B′M′=C′M′\). Чтобы показать единственность построения, можно задать на лучах AB и AC точки B и C так, чтобы M была равноудалена от B и C: отражение точки B относительно M задаёт C, а условие направления луча AC фиксирует соответствующее положение. При данных длине медианы и двух углах получаются однозначно соответствующие боковые стороны и основание.

Иными словами, если из точки A провести медиану AM заданной длины, а её лучи образуют с AB и AC заданные углы, то середина основания обязана быть M. Для каждого из двух лучей положение соответствующей вершины определяется условием, что M — середина отрезка BC; поэтому соответствующие стороны и основание в обоих треугольниках совпадают. Следовательно, треугольники равны.

Признак: если медиана одного треугольника равна медиане другого, а углы, на которые эти медианы делят углы при соответствующих вершинах, попарно равны, то треугольники равны.