3.17. Докажите, что если m₁, m₂ и m₃ — длины медиан треугольника, p — его полупериметр, то m₁ + m₂ + m₃ < 2p.

Пусть стороны треугольника равны a, b, c, а медианы, проведённые к ним, — mₐ, m_b, m_c. По формуле медианы к стороне a:

\[m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.\]

Из неравенства треугольника \(a>|b-c|\) следует:

\[2b^2+2c^2-a^2<(b+c)^2,\]

поскольку разность правой и левой частей равна \(a^2-(b-c)^2>0\). Значит, \(m_a<(b+c)/2\). Аналогично, \(m_b<(a+c)/2\) и \(m_c<(a+b)/2\).

Складывая три неравенства, получаем:

\[m_a+m_b+m_c

Ответ: \(m_1+m_2+m_3<2p\).