Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3.16. Постройте параллелограмм: 1) по двум диагоналям и стороне; 2) по двум диагоналям и углу между ними; 3) по двум…Фото задания

Ответ:

Обозначим диагонали параллелограмма через d₁ и d₂, а их точку пересечения — через O. Диагонали параллелограмма делятся пополам. Поэтому вершины можно построить, откладывая от O половины диагоналей в противоположных направлениях.

1) По двум диагоналям и стороне.

  1. Постройте отрезки OA = OC = d₁/2 и OB = OD = d₂/2 на двух пересекающихся прямых.
  2. Угол между прямыми выберите так, чтобы одна из сторон параллелограмма, например AB, имела заданную длину. Для построения треугольника AOB используйте три известные длины: OA, OB и AB.
  3. Продлите OA за O до C и OB за O до D, отложив OC = OA и OD = OB.
  4. Соедините A, B, C, D по порядку. Диагонали полученного четырёхугольника делятся пополам, значит, это параллелограмм.

Если заданная сторона не образует треугольник с половинами диагоналей, такого параллелограмма не существует. При возможных двух положениях треугольника получаются зеркальные варианты.

2) По двум диагоналям и углу между ними.

  1. Постройте две пересекающиеся прямые под заданным углом; точку пересечения обозначьте O.
  2. На одной прямой отложите по разные стороны от O отрезки OA = OC = d₁/2, а на другой — OB = OD = d₂/2.
  3. Соедините вершины A, B, C, D по порядку. Поскольку диагонали AC и BD делятся пополам в O, ABCD — параллелограмм.

3) По двум диагоналям и высоте.

Уточните, к какой стороне относится заданная высота: без этого условие может допускать разные построения. Для выбранной стороны AB обозначим её длину через a, а диагонали — через d₁ и d₂. Площадь можно выразить через диагонали и угол φ между ними, а также через сторону и высоту h:

\[S=\frac{d_1d_2\sin\varphi}{2}=ah.\]

Постройте допустимый угол φ из условия \(\sin\varphi=2ah/(d_1d_2)\), учитывая, что сторона AB должна соответствовать половинам диагоналей. Затем постройте параллелограмм способом 2, используя этот угол. Если высота не указана относительно конкретной стороны, возможные решения рассматривают для каждой стороны, к которой она могла быть проведена.

Для численного или однозначного построения в пункте 3 нужно знать, к какой стороне относится высота; в пунктах 1–2 длины отрезков и величина угла не заданы, поэтому здесь приведён общий способ построения по указанным данным.