3.2. A(2,3,1), B(4,3,2), C(0,1,1). Найти длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), и косинус угла между векторами.

Находим координаты векторов:

\(\overrightarrow{AB}=B-A=(2,0,1)\), \(\overrightarrow{AC}=C-A=(-2,-2,0)\).

Длины векторов:

\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+0^2+1^2}=\sqrt{5}\).

\(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).

Скалярное произведение: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot(-2)+0\cdot(-2)+1\cdot0=-4\).

\(\cos\varphi=\dfrac{-4}{\sqrt{5}\cdot2\sqrt{2}}=-\dfrac{2}{\sqrt{10}}\).

Ответ: \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}\), \(|\overrightarrow{AC}|=2\sqrt{2}\), \(\cos\varphi=-\dfrac{2}{\sqrt{10}}\).