3.30. Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Отметьте на его рёбрах три точки так, чтобы сечение куба плоскостью, проходящей через эти точки, было пятиугольником.

Выберем по одной точке на рёбрах \(AB\), \(BC\), \(CC_1\), чтобы плоскость пересекала ещё два ребра куба. Например, возьмём точки \(P\in AB\), \(Q\in BC\), \(R∈CC_1\), расположив их, как показано на схеме. Тогда плоскость пересечёт также рёбра \(A_1D_1\) и \(D_1D\), образуя пятиугольник с пятью сторонами.

Проверка по граням: на гранях куба с тремя выбранными точками плоскость задаёт три стороны; продолжение сечения через соседние грани даёт ещё две стороны, так что всего получается пятиугольник.

Ответ: достаточно выбрать точки на трёх рёбрах так, чтобы секущая плоскость пересекала ещё два ребра; сечение тогда является пятиугольником.