№ 3.48. Решите неравенство: \(\dfrac{(x+1)(4x+7)(x-10)^2}{(x+4)(3x-6)}>0\).

Область определения: \(x\ne -4\), \(x\ne 2\). Разложим \(3x-6=3(x-2)\); множитель 3 положителен и на знак не влияет.

Критические точки: \(-4\), \(-\dfrac74\), \(-1\), \(2\), \(10\). Точка \(10\) — нуль чётной кратности: знак при переходе через неё не меняется, но из-за строгого неравенства она не входит в ответ.

Методом интервалов выражение положительно на \((-\infty,-4)\), \((-\dfrac74,-1)\) и \((2,\infty)\). Исключаем также \(x=10\).

Ответ: \((-\infty,-4)\cup(-\dfrac74,-1)\cup(2,10)\cup(10,\infty)\).