3.5. а) При каком значении х график функции \( f(x)=\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x-3} \) пересекает ось абсцисс? б) Решите уравнение \(\frac{2}{x+1}-\frac{3}{3-x}=\frac{3}{2}\)

Решение:

а) При каком значении х график функции \( f(x)=\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x-3} \) пересекает ось абсцисс?

1. График пересекает ось абсцисс, когда \( f(x) = 0 \).
2. \( \frac{1}{x-2}-\frac{2}{x-3} = 0 \)
3. \( \frac{1}{x-2} = \frac{2}{x-3} \)
4. \( x-3 = 2(x-2) \)
5. \( x-3 = 2x-4 \)
6. \( -3+4 = 2x-x \)
7. \( x = 1 \)

б) Решите уравнение \(\frac{2}{x+1}-\frac{3}{3-x}=\frac{3}{2}\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю: \( \frac{2(3-x)}{(x+1)(3-x)} - \frac{3(x+1)}{(3-x)(x+1)} = \frac{3}{2} \)
2. \( \frac{6-2x-3x-3}{(x+1)(3-x)} = \frac{3}{2} \)
3. \( \frac{3-5x}{-x^2+2x+3} = \frac{3}{2} \)
4. \( 2(3-5x) = 3(-x^2+2x+3) \)
5. \( 6-10x = -3x^2+6x+9 \)
6. \( 3x^2 - 16x - 3 = 0 \)
7. Найдем дискриминант: \( D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 256 + 36 = 292 \)
8. \( x_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{292}}{6} = \frac{16 \pm 2\sqrt{73}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{73}}{3} \)

Ответ: а) x = 1; б) \( x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{73}}{3} \).