3.6.16. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 24, sin A = 5√41/41. Найдите высоту CH.

Проведём высоту \(CH\) к основанию \(AB\). Так как треугольник равнобедренный, \(AH=HB=12\).

В прямоугольном треугольнике \(ACH\):

\(\sin A=\frac{CH}{AC}=\frac{5\sqrt{41}}{41}\).

Возведём отношение в квадрат и учтём, что \(AC^2=AH^2+CH^2=144+CH^2\):

\(\frac{CH^2}{144+CH^2}=\left(\frac{5\sqrt{41}}{41}\right)^2=\frac{25}{41}\).

Отсюда

\(41CH^2=25(144+CH^2)\),

\(16CH^2=3600\),

\(CH^2=225\), поэтому \(CH=15\).

Ответ: 15.