№ 3. а) Дано: $\sin\alpha=\frac12$, $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$. Найти: $\cos2\alpha$; $\sin2\alpha$. б) Дано: $\cos\alpha=-\frac13$, $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$; $\sin\beta=\frac12$, $0<\beta<\frac{\pi}{2}$. Найти: $\sin(\alpha+\beta)$; $\cos(\alpha-\beta)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 3. а) Дано: $\sin\alpha=\frac12$, $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$. Найти: $\cos2\alpha$; $\sin2\alpha$. б) Дано:…$ Фото задания

№ 3. а) Дано: $\sin\alpha=\frac12$, $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$. Найти: $\cos2\alpha$; $\sin2\alpha$. б) Дано: $\cos\alpha=-\frac13$, $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$; $\sin\beta=\frac12$, $0<\beta<\frac{\pi}{2}$. Найти: $\sin(\alpha+\beta)$; $\cos(\alpha-\beta)$.

Accepted Answer

а) Так как $\alpha$ во II четверти, $\cos\alpha<0$. По основному тригонометрическому тождеству $\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}$.

$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot\frac14=\frac12$.

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac12\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}$.

б) Поскольку $\alpha$ во II четверти, $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\frac{2\sqrt2}{3}$. Поскольку $\beta$ в I четверти, $\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\frac{\sqrt3}{2}$.

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac13\cdot\frac12=\frac{2\sqrt6-1}{6}$.

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=-\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac12=\frac{2\sqrt2-\sqrt3}{6}$.

Ответ: а) $\cos2\alpha=\frac12$, $\sin2\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}$; б) $\sin(\alpha+\beta)=\frac{2\sqrt6-1}{6}$, $\cos(\alpha-\beta)=\frac{2\sqrt2-\sqrt3}{6}$.

№ 3. а) Дано: \(\sin\alpha=\frac12\), \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\). Найти: \(\cos2\alpha\); \(\sin2\alpha\). б) Дано: \(\cos\alpha=-\frac13\), \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\); \(\sin\beta=\frac12\), \(0<\beta<\frac{\pi}{2}\). Найти: \(\sin(\alpha+\beta)\); \(\cos(\alpha-\beta)\).

Ответ: