3. а) Решите уравнение \(\sin^2\frac{x}{2}-2\cos\frac{x}{2}+2=0\). б) Укажите корни, принадлежащие отрезку \([\sqrt{82};\sqrt{170}]\).

а) Положим \(t=\cos\frac{x}{2}\). Поскольку \(\sin^2\frac{x}{2}=1-t^2\), получаем \(1-t^2-2t+2=0\), то есть \(t^2+2t-3=0\).

\((t-1)(t+3)=0\). Значение \(t=-3\) невозможно, так как косинус лежит в отрезке \([-1;1]\). Поэтому \(\cos\frac{x}{2}=1\), откуда \(\frac{x}{2}=2\pi k\).

Следовательно, \(x=4\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) Среди корней \(4\pi k\) в отрезок \([\sqrt{82};\sqrt{170}]\) попадает только \(4\pi\): приблизительно \(12.57\), тогда как границы отрезка приблизительно равны \(9.06\) и \(13.04\).

Ответ: а) \(x=4\pi k,\ k\in\mathbb Z\); б) \(4\pi\).