5. Решите уравнение \(8\sin x-\cos x=4\).

Представим левую часть как одну синусоиду. Пусть \(\alpha\) — угол, для которого \(\cos\alpha=\frac{8}{\sqrt{65}}\), \(\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{65}}\). Тогда

\[8\sin x-\cos x=\sqrt{65}\sin(x-\alpha).\]

Уравнение принимает вид \(\sin(x-\alpha)=\frac{4}{\sqrt{65}}\). Обозначим \(\beta=\arcsin\frac{4}{\sqrt{65}}\). Тогда \(x-\alpha=\beta+2\pi k\) или \(x-\alpha=\pi-\beta+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: \(x=\alpha+\beta+2\pi k\) или \(x=\alpha+\pi-\beta+2\pi k\), где \(\alpha=\arctan\frac18\), \(\beta=\arcsin\frac{4}{\sqrt{65}}\), \(k\in\mathbb Z\).