4. а) Решите уравнение \(( g^2 2x-1)\sqrt{17\cos 2x}=0\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\frac{3\pi}{2};-\frac{3\pi}{4}]\).

а) Для существования выражения необходимо \(\cos 2x\geq 0\), а для тангенса — \(\cos 2x\ne 0\). Следовательно, подкоренное выражение не может дать нуль в области определения уравнения. Остаётся решить \( g^2 2x-1=0\).

\( g 2x=\pm1\), поэтому \(2x=\frac{\pi}{4}+\pi n\) или \(2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n\). С учётом условия \(\cos 2x>0\) получаем \(x=\frac{\pi}{8}+\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{8}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) Проверка этих двух серий на заданном отрезке даёт корни \(-\frac{9\pi}{8}\) и \(-\frac{7\pi}{8}\).

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{8}+\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{8}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{9\pi}{8},-\frac{7\pi}{8}\).