3. ABCD — параллелограмм, AB = 8, AD = 12. Угол между DC и продолжением AD за точку D равен 45°. Найдите BD = x и AC = y.

Внешний угол при D равен 45°, поэтому внутренний угол параллелограмма при D равен \(180^\circ-45^\circ=135^\circ\). Соседний угол A равен \(45^\circ\), а угол B — \(135^\circ\). В параллелограмме BC = AD = 12.

Для диагонали BD применим теорему косинусов к треугольнику ABD:

\(x^2=8^2+12^2-2\cdot8\cdot12\cos45^\circ=208-96\sqrt2\).

Следовательно, \(x=\sqrt{208-96\sqrt2}\).

Для диагонали AC применим теорему косинусов к треугольнику ABC, где угол B равен 135°:

\(y^2=8^2+12^2-2\cdot8\cdot12\cos135^\circ=208+96\sqrt2\).

Следовательно, \(y=\sqrt{208+96\sqrt2}\).

Ответ: \(x=\sqrt{208-96\sqrt2}\), \(y=\sqrt{208+96\sqrt2}\).