5. ABCD — параллелограмм, AB = 8. Диагональ AC образует с AD угол 20°, а угол между AC и CD равен 40°. Найдите BD = x и AC = y.

Рассмотрим треугольник ACD. Его углы при A и C равны 20° и 40°, поэтому \(\angle ADC=120^\circ\). По теореме синусов, поскольку CD = AB = 8:

\(\frac{y}{\sin120^\circ}=\frac{8}{\sin20^\circ}\), откуда \(y=\frac{8\sin120^\circ}{\sin20^\circ}=\frac{4\sqrt3}{\sin20^\circ}\).

Также \(AD=\frac{8\sin40^\circ}{\sin20^\circ}=16\cos20^\circ\), так как \(\sin40^\circ=2\sin20^\circ\cos20^\circ\). В параллелограмме \(\angle DAB=60^\circ\), поэтому для треугольника ABD по теореме косинусов:

\(x^2=8^2+(16\cos20^\circ)^2-2\cdot8\cdot16\cos20^\circ\cdot\cos60^\circ\).

Значит, \(x=\sqrt{64+256\cos^2 20^\circ-128\cos20^\circ}\).

Ответ: \(x=\sqrt{64+256\cos^2 20^\circ-128\cos20^\circ}\), \(y=\frac{4\sqrt3}{\sin20^\circ}\).