(3 балла) Найдите точку максимума функции у =2x – ln(x + 4)+2.

Решение:

Чтобы найти точку максимума, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю и определить знак производной на интервалах.

1. Найдем производную функции \( y \): \( y' = (2x - \ln(x+4) + 2)' \)
2. \( y' = 2 - \frac{1}{x+4} \)
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 2 - \frac{1}{x+4} = 0 \)
4. \( 2 = \frac{1}{x+4} \)
5. \( 2(x+4) = 1 \)
6. \( 2x + 8 = 1 \)
7. \( 2x = -7 \)
8. \( x = -3,5 \)
9. Определим знак производной на интервалах, учитывая, что \( x+4 > 0 \), то есть \( x > -4 \).
10. Интервал: \( (-4; -3,5) \). Возьмем \( x = -3,75 \). \( y' = 2 - \frac{1}{-3,75+4} = 2 - \frac{1}{0,25} = 2 - 4 = -2 < 0 \). Функция убывает.
11. Интервал: \( (-3,5; +\infty) \). Возьмем \( x = 0 \). \( y' = 2 - \frac{1}{0+4} = 2 - \frac{1}{4} = 1,75 > 0 \). Функция возрастает.
12. Так как на интервале \( (-4; -3,5) \) функция убывает, а на \( (-3,5; +\infty) \) возрастает, то в точке \( x = -3,5 \) находится точка минимума, а не максимума.
13. В данной функции нет точки максимума.

Ответ: Точки максимума нет.