(3 балла) В прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90°) проведена высота CD. Найдите BD, если гипотенуза AB равна 10см. ∠ CBA=30°.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Мы знаем, что \( \angle C = 90° \) и \( \angle B = 30° \).
2. Гипотенуза \( AB = 10 \) см.
3. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. То есть, \( AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \) см.
4. Мы можем найти длину катета BC, используя теорему Пифагора: \( BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75 \).
5. \( BC = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \) см.
6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CDB. \( \angle CDB = 90° \) (так как CD - высота), \( \angle B = 30° \).
7. Катет BD в этом треугольнике лежит против угла в 30°. Следовательно, \( BD = \frac{1}{2} BC \).
8. \( BD = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \) см.

Ответ: \( BD = \frac{5\sqrt{3}}{2} \) см.