3. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.

Обозначим AB = CD = a, AD = BC = b. Углы A и D смежные, поэтому их биссектрисы перпендикулярны.

Поскольку M лежит на BC, расстояние от M до прямой AD равно высоте параллелограмма. Биссектриса угла A образует с AB и AD равные углы, а биссектриса угла D — равные углы с DA и DC. Из этого следует, что расстояние между параллельными прямыми AD и BC равно половине длины AB, а горизонтальные проекции отрезков от A и D до M дают вместе длину AD. Следовательно, AD = 2AB.

Из периметра получаем 2(a + b) = 36, то есть a + b = 18. Подставим b = 2a: 3a = 18, a = 6 см, b = 12 см.

Ответ: стороны параллелограмма — 6 см и 12 см.