6. Один из углов равнобедренной трапеции равен 60°, а диагональ трапеции делит этот угол пополам. Найдите периметр трапеции, если её большее основание равно 14 см.

Обозначим через d горизонтальную проекцию каждой боковой стороны на большее основание. Тогда разность оснований равна 2d, высота трапеции равна d√3, а боковая сторона равна 2d: это следует из прямоугольного треугольника с углом 60°.

Рассмотрим диагональ, которая делит угол 60° пополам. Она образует с основанием угол 30°. Её горизонтальная проекция равна 14 − d, а вертикальная — d√3. Поэтому tan 30° = d√3 / (14 − d). Подставляя tan 30° = 1/√3, получаем 1/√3 = d√3 / (14 − d), откуда 14 − d = 3d и d = 3,5 см.

Меньшее основание равно 14 − 2d = 7 см, а боковая сторона — 2d = 7 см. Периметр равен 14 + 7 + 7 + 7 = 35 см.

Ответ: 35 см.