5. В равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB вписан прямоугольник KMNP, как показано на рисунке 9. Периметр этого прямоугольника равен 30 см, а смежные стороны KM и KP пропорциональны числам 2 и 3, т. е. KM : KP = 2 : 3. Найдите гипотенузу треугольника ABC.

Пусть KM = 2x, KP = 3x. Тогда периметр прямоугольника равен 2(2x + 3x) = 10x = 30, откуда x = 3 см. Значит, KM = 6 см, KP = 9 см.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике боковые стороны образуют с гипотенузой углы по 45°. На высоте 6 см каждая боковая сторона отступает внутрь от основания на 6 см. Поэтому ширина треугольника на уровне MN меньше гипотенузы на 12 см.

Так как MN = KP = 9 см, гипотенуза AB равна 9 + 12 = 21 см.

Ответ: 21 см.