3. Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен. Найти меньшее основание.

Решение:

1. Пусть большее основание AD = 34, боковая сторона AB = CD = 14.
2. Пусть \(\angle DAB = \alpha\) - острый угол. \(\sin(\alpha)\) - значение, которое нужно найти.
3. Опустим высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD.
4. В прямоугольном треугольнике ABH, \(AH = AB \cos(\alpha)\) и \(BH = AB \sin(\alpha) = 14 \sin(\alpha)\).
5. Так как трапеция равнобедренная, HD = AH.
6. \(AD = AH + HK + KD\). Так как BCHK - прямоугольник, HK = BC.
7. \(34 = AH + BC + AH = 2AH + BC\).
8. \(BC = 34 - 2AH = 34 - 2(14 \cos(\alpha)) = 34 - 28 \cos(\alpha)\).
9. Для нахождения BC, нам нужно значение \(\cos(\alpha)\).
10. \(\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)}\).
11. \(BC = 34 - 28\sqrt{1 - \sin^2(\alpha)}\).
12. В условии пропущен синус острого угла. Предположим, \(\sin(\alpha) = \frac{7}{13}\).
13. Тогда \(\cos(\alpha) = \sqrt{1 - (\frac{7}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{169}} = \sqrt{\frac{120}{169}} = \frac{\sqrt{120}}{13} = \frac{2\sqrt{30}}{13}\).
14. \(AH = 14 \cos(\alpha) = 14 \cdot \frac{2\sqrt{30}}{13} = \frac{28\sqrt{30}}{13}\).
15. \(BC = 34 - 2AH = 34 - 2 \cdot \frac{28\sqrt{30}}{13} = 34 - \frac{56\sqrt{30}}{13} = \frac{34 \cdot 13 - 56\sqrt{30}}{13} = \frac{442 - 56\sqrt{30}}{13}\).
16. Это слишком сложное выражение.
17. Перечитаем условие: "Синус острого угла равен." - это предложение незакончено.
18. Предположим, что нам дано значение синуса.
19. Если \(\sin(\alpha) = x\).
20. \(AH = 14 \sqrt{1 - x^2}\).
21. \(BC = 34 - 2 0 14 \sqrt{1 - x^2} = 34 - 28 0 \sqrt{1 - x^2}\).
22. Невозможно решить без значения синуса.
23. Предположим, что в условии пропущено значение \(\sin(\alpha) = 4/5\).
24. Тогда \(\cos(\alpha) = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5\).
25. \(AH = 14 0 (3/5) = 42/5 = 8.4\).
26. \(BC = 34 - 2 0 AH = 34 - 2 0 8.4 = 34 - 16.8 = 17.2\).

Ответ: меньшее основание равно 17.2, при условии, что синус острого угла равен 4/5.