4. В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 27, острый угол равен 60°. Найти ее периметр.

Решение:

1. Пусть основания трапеции BC = 12 и AD = 27. Острый угол \(\angle DAB = 60°\).
2. Так как трапеция равнобедренная, \(\angle CDA = 60°\).
3. Опустим высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD.
4. \(BCKH\) - прямоугольник, поэтому \(HK = BC = 12\).
5. \(AH = KD\) как отрезки, на которые основания делит высота в равнобедренной трапеции.
6. \(AD = AH + HK + KD = 2AH + HK\).
7. \(27 = 2AH + 12\).
8. \(2AH = 27 - 12 = 15\).
9. \(AH = 15/2 = 7.5\).
10. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. \(\angle BAH = 60°\).
11. \(AB\) - боковая сторона. \(AB = AH / \cos(60°) = 7.5 / (1/2) = 7.5 \cdot 2 = 15\).
12. Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: AB = CD = 15.
13. Периметр трапеции P = AD + BC + AB + CD.
14. \(P = 27 + 12 + 15 + 15 = 69\).

Ответ: Периметр трапеции равен 69.