3. Через конец радиуса сферы R проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите площадь сечения.

Расстояние от центра сферы до плоскости:

\(h=R\sin45^\circ=\dfrac{R}{\sqrt2}\).

Радиус сечения:

\(r=\sqrt{R^2-h^2}=\sqrt{R^2-\dfrac{R^2}{2}}=\dfrac{R}{\sqrt2}\).

Тогда площадь сечения равна:

\(S=\pi r^2=\pi\cdot\dfrac{R^2}{2}=\dfrac{\pi R^2}{2}\).

Ответ: \(\dfrac{\pi R^2}{2}\).