3. Через концы H и K дуги окружности с центром A проведены касательные HM и KM. Угол MHK равен 40°. Найдите угол HAK. Ответ дайте в градусах.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: \(AH\perp HM\) и \(AK\perp KM\). В четырёхугольнике AHМK углы при H и K равны 90°.

По сумме углов четырёхугольника: \(\angle HAK+\angle HMK+90^\circ+90^\circ=360^\circ\). Угол между касательными \(\angle HMK=180^\circ-\angle HAK\); однако заданный угол MHK — угол между касательной HM и хордой HK. По теореме об угле между касательной и хордой он равен половине дуги HK, а центральный угол, опирающийся на эту дугу, вдвое больше: \(\angle HAK=2\cdot40^\circ=80^\circ\).

Ответ: 80°.