3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми AC и DL, где L — середина ребра CC₁.

Пусть ребро куба равно \(a\). Введём координаты: \(A(0;0;0)\), \(C(a;a;0)\), \(D(0;a;0)\), \(C_1(a;a;a)\). Тогда \(L(a;a;\frac a2)\).

Направляющие векторы: \(\overrightarrow{AC}=(a;a;0)\), \(\overrightarrow{DL}=(a;0;\frac a2)\). Их скалярное произведение равно \(a^2\), длины — \(a\sqrt2\) и \(\frac{a\sqrt5}{2}\).

Следовательно, \(\cos\varphi=\frac{a^2}{a\sqrt2\cdot\frac{a\sqrt5}{2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac25}\).

Ответ: \(\varphi=\arccos\sqrt{\frac25}\) (примерно \(50{,}8^\circ\)).