5. Дан правильный тетраэдр DABC с ребром a. При симметрии относительно точки D плоскость ABC перешла в плоскость A₁B₁C₁. Найдите расстояние между этими плоскостями.

Пусть \(H\) — основание высоты тетраэдра, опущенной из вершины \(D\) на плоскость \(ABC\). Высота правильного тетраэдра равна \(DH=a\sqrt{\frac23}\).

Центральная симметрия с центром \(D\) переводит плоскость \(ABC\) в параллельную плоскость на таком же расстоянии от \(D\), но по другую сторону от него. Поэтому расстояние между плоскостями равно \(2DH\).

\(2DH=2a\sqrt{\frac23}=\frac{2a\sqrt6}{3}.\)

Ответ: \(\frac{2a\sqrt6}{3}\).