3. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, у которого BC = 8 см, ∠A:∠B = 1:4. Найдите площадь треугольника ABC.

1. Так как основание — AC, равные боковые стороны AB и BC, значит \(AB=BC=8\) см, а углы при основании равны: \(\angle A=\angle C\).
2. Пусть \(\angle A=x\), тогда \(\angle B=4x\) и \(\angle C=x\). Из суммы углов треугольника: \(6x=180^\circ\), поэтому \(x=30^\circ\), а \(\angle B=120^\circ\).
3. Площадь по двум сторонам и углу между ними: \(S=\frac12 AB\cdot BC\cdot\sin B=\frac12\cdot8\cdot8\cdot\sin120^\circ=16\sqrt3\) см².

Ответ: \(16\sqrt3\) см².