4. Дан прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, высота CH = 6 см, AH − HB = 5 см. Найдите площадь треугольника ABC.

1. Обозначим \(AH=x\), \(HB=y\). Для высоты к гипотенузе верно \(CH^2=AH\cdot HB\), поэтому \(xy=36\). Также \(x-y=5\).
2. Подставим \(x=y+5\): \(y(y+5)=36\), то есть \(y^2+5y-36=0\). Положительный корень \(y=4\), значит \(x=9\).
3. Гипотенуза \(AB=AH+HB=13\) см. Тогда \(S=\frac12 AB\cdot CH=\frac12\cdot13\cdot6=39\) см².

Ответ: 39 см².