3. Дана матрица A. Постройте соответствующий ей граф, имеющий матрицу A своей матрицей смежности. Найдите матрицу инцидентности для построенного графа (где V — вершины графа). A = (1 1 1 0; 1 0 2 1; 1 2 0 1; 0 1 1 0).

Матрица симметрична, поэтому граф неориентированный. Элемент \(a_{11}=1\) задаёт петлю при \(v_1\); элемент \(a_{23}=a_{32}=2\) означает два параллельных ребра между \(v_2\) и \(v_3\). Остальные единицы задают рёбра \(v_1v_2\), \(v_1v_3\), \(v_2v_4\), \(v_3v_4\).

Обозначим рёбра: \(e_1\) — петля при \(v_1\), \(e_2=v_1v_2\), \(e_3=v_1v_3\), \(e_4=v_2v_3\), \(e_5=v_2v_3\), \(e_6=v_2v_4\), \(e_7=v_3v_4\).

В матрице инцидентности строкам соответствуют \(v_1,v_2,v_3,v_4\), столбцам — \(e_1,\ldots,e_7\). Для петли ставим 2 в строке инцидентной вершины:

\[\begin{pmatrix}2&1&1&0&0&0&0\\0&1&0&1&1&1&0\\0&0&1&1&1&0&1\\0&0&0&0&0&1&1\end{pmatrix}\]