3. Дано: ABCD — квадрат. Доказать перпендикулярность плоскостей: 1) AMC и ABC; 2) AMC и BMD.

По отметкам рисунка треугольники AMC и BMD равнобедренные: MA = MC и MB = MD. Обозначим через O точку пересечения диагоналей квадрата ABCD.

1. В треугольнике AMC медиана MO проведена к основанию AC, поэтому MO ⟂ AC.

   В треугольнике BMD медиана MO проведена к основанию BD, поэтому MO ⟂ BD.

   Диагонали AC и BD пересекаются и лежат в плоскости ABC. Следовательно, MO перпендикулярна плоскости ABC. Поскольку MO лежит в плоскости AMC, получаем AMC ⟂ ABC.

2. Плоскости AMC и BMD пересекаются по прямой MO. В плоскости AMC прямая AC перпендикулярна MO, а в плоскости BMD прямая BD также перпендикулярна MO. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны: AC ⟂ BD. Поэтому угол между этими плоскостями равен 90°.

Ответ: 1) AMC ⟂ ABC; 2) AMC ⟂ BMD.