№ 3. Дано: треугольник MNP, MP = 8, NP = 11√2, ∠P = 45°. Найти MN.

По теореме косинусов для стороны MN, лежащей напротив угла P:

\(MN^2=MP^2+NP^2-2\cdot MP\cdot NP\cdot\cos P.\)

Подставим данные: \(MN^2=8^2+(11\sqrt2)^2-2\cdot8\cdot11\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=64+242-176=130\).

Длина положительна, поэтому \(MN=\sqrt{130}\).

Ответ: \(MN=\sqrt{130}\).