3. Даны две стороны треугольника ABC и угол, противолежащий третьей стороне. Найдите остальные два угла и третью сторону, если BC = 16 см, AC = 10 см, угол C = 45°.

Обозначим ∠A = α, ∠B = β. По теореме синусов: sin β / BC = sin C / AB. Здесь удобнее проверить возможность треугольника по сторонам BC = 16 см, AC = 10 см и углу C = 45°: сторона BC лежит напротив угла A, а AC — напротив угла B.

По теореме синусов sin A / AC = sin C / BC, поэтому sin A = 10 · sin 45° / 16 = 5√2/16. Тогда угол A существует, но этих данных недостаточно для определения треугольника без неоднозначности? Уточним: ∠C — угол между сторонами BC и AC, поэтому по теореме косинусов третья сторона AB находится однозначно.

AB² = 16² + 10² − 2·16·10·cos 45° = 356 − 160√2, следовательно, AB = √(356 − 160√2) см.

По теореме синусов sin A = 10 sin 45° / AB, а ∠B = 180° − 45° − ∠A. Таким образом, углы определяются, но формулировка «угол, противолежащий третьей стороне» противоречит указанному ∠C: угол C не противолежит третьей стороне AB.

Ответ: если дан именно ∠C = 45° (угол между известными сторонами), то AB = √(356 − 160√2) см; ∠A = arcsin(5√2/√(356 − 160√2)), ∠B = 135° − ∠A. Если имелся в виду угол, противолежащий AB, уточните, какой именно угол равен 45°.