3. Даны координаты точек: A (1; −1; −4), B (−3; −1; 0), C (−1; 2; 5), D (2; −3; 1). Найдите косинус угла между векторами AB и CD.

Шаг 1. Найдём координаты векторов:

\(\overrightarrow{AB}=B-A=(-4;0;4)\), \(\overrightarrow{CD}=D-C=(3;-5;-4)\).

Шаг 2. Скалярное произведение:

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=(-4)\cdot3+0\cdot(-5)+4\cdot(-4)=-28\).

Шаг 3. Длины векторов: \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-4)^2+0^2+4^2}=4\sqrt2\), \(|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{3^2+(-5)^2+(-4)^2}=5\sqrt2\).

Шаг 4. Используем формулу косинуса угла между векторами:

\(\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{CD}|}=\frac{-28}{(4\sqrt2)(5\sqrt2)}=-\frac{7}{10}\).

Ответ: \(-\frac{7}{10}\).