3. Даны точки A(4; 4; 0), B(0; 0; 0), C(0; 3; 4) и D(1; 4; 4). Докажите, что ABCD — равнобедренная трапеция.

Найдём векторы противоположных сторон:

\(\overrightarrow{AB}=(-4;-4;0)\), \(\overrightarrow{CD}=(1;1;0)\). Так как \(\overrightarrow{CD}=-\frac14\overrightarrow{AB}\), стороны AB и CD параллельны.

Вычислим длины боковых сторон:

\(BC=\sqrt{(0-0)^2+(3-0)^2+(4-0)^2}=5.\)

\(AD=\sqrt{(1-4)^2+(4-4)^2+(4-0)^2}=5.\)

Четырёхугольник имеет пару параллельных противоположных сторон, а его боковые стороны равны. Следовательно, ABCD — равнобедренная трапеция.