5. Из точки A, отстоящей от плоскости на расстояние a, проведены две наклонные, образующие углы 45° и 30° с плоскостью, а между собой — прямой угол. Найдите расстояние между концами наклонных.

Обозначим концы наклонных через P и Q. Перпендикулярное расстояние от A до плоскости равно a. Если наклонная образует с плоскостью угол \(\alpha\), то её длина равна \(a/\sin\alpha\).

Следовательно, \(AP=\frac{a}{\sin45^\circ}=a\sqrt{2}\), а \(AQ=\frac{a}{\sin30^\circ}=2a\).

Поскольку наклонные взаимно перпендикулярны, треугольник PAQ прямоугольный с прямым углом при A. По теореме Пифагора:

\(PQ=\sqrt{AP^2+AQ^2}=\sqrt{2a^2+4a^2}=a\sqrt{6}.\)

Ответ: расстояние между концами наклонных равно \(a\sqrt{6}\).