3. Даны векторы а(3; −2; −1) и Б(1; 2; 4). Найдите: 1) координаты вектора т = −3а + 2b; 2) косинус угла между векторами а и Б.

Решение:

1. Координаты вектора т = −3а + 2b:

Сначала найдем координаты векторов $$-3\vec{a}$$ и $$2\vec{b}$$:

• \[ -3\vec{a} = -3(3; -2; -1) = (-9; 6; 3) \]
• \[ 2\vec{b} = 2(1; 2; 4) = (2; 4; 8) \]

Теперь сложим полученные векторы:

• \[ \vec{m} = -3\vec{a} + 2\vec{b} = (-9; 6; 3) + (2; 4; 8) = (-9 + 2; 6 + 4; 3 + 8) = (-7; 10; 11) \]

Координаты вектора $$\vec{m}$$: (-7; 10; 11)

2. Косинус угла между векторами а и Б:

Косинус угла между двумя векторами находится по формуле:

Формула:

• \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]

Сначала найдем скалярное произведение векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$:

• \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(1) + (-2)(2) + (-1)(4) = 3 - 4 - 4 = -5 \]

Теперь найдем модули векторов:

• \[ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \]
• \[ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21} \]

Теперь подставим значения в формулу косинуса:

• \[ \cos(\theta) = \frac{-5}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{-5}{\sqrt{14 \times 21}} = \frac{-5}{\sqrt{294}} \]

Упростим корень:

• \[ \sqrt{294} = \sqrt{49 \times 6} = 7\sqrt{6} \]

Значит,

• \[ \cos(\theta) = \frac{-5}{7\sqrt{6}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{6}$$:

• \[ \cos(\theta) = \frac{-5\sqrt{6}}{7\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{-5\sqrt{6}}{7 \times 6} = \frac{-5\sqrt{6}}{42} \]

Косинус угла между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$: $$\frac{-5\sqrt{6}}{42}$$

Ответ:

• Координаты вектора $$\vec{m}$$: (-7; 10; 11)
• Косинус угла между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$: $$\frac{-5\sqrt{6}}{42}$$