4. Даны векторы а(2; -6; 8) и Б(-1; k; -4). При каком значении k векторы а и б: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

Решение:

1. Коллинеарность векторов:

Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $$\lambda$$, что $$\vec{a} = \lambda \vec{b}$$.

• \[ \frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z} \]
• \[ \frac{2}{-1} = \frac{-6}{k} = \frac{8}{-4} \]

Из равенства $$\frac{2}{-1} = \frac{8}{-4}$$ следует, что $$-2 = -2$$, что верно.

Теперь приравняем первую и вторую части:

• \[ \frac{2}{-1} = \frac{-6}{k} \]
• \[ -2 = \frac{-6}{k} \]
• \[ k = \frac{-6}{-2} \]
• \[ k = 3 \]

Векторы коллинеарны при k = 3.

2. Перпендикулярность векторов:

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Формула:

• \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0 \]

Подставим значения координат:

• \[ (2)(-1) + (-6)(k) + (8)(-4) = 0 \]
• \[ -2 - 6k - 32 = 0 \]
• \[ -6k - 34 = 0 \]
• \[ -6k = 34 \]
• \[ k = \frac{34}{-6} \]
• \[ k = -\frac{17}{3} \]

Векторы перпендикулярны при $$k = -\frac{17}{3}$$.

Ответ:

• Коллинеарны при k = 3
• Перпендикулярны при $$k = -\frac{17}{3}$$