6. Дан куб ABCDABCD1, ребро которого равно 1 см. На диагонали C1D его грани отметили точку М так, что DM: MC1 = 5:3. 1) Выразите вектор АМ через векторы AB, AD и АА 2) Найдите модуль вектора АМ.

Решение:

1. Выражение вектора $$\vec{AM}$$ через векторы $$\vec{AB}$$, $$\vec{AD}$$ и $$\vec{AA_1}$$ (далее $$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$$ соответственно):

Пусть $$\vec{AB} = \vec{a}$$, $$\vec{AD} = \vec{b}$$, $$\vec{AA_1} = \vec{c}$$.

Вектор $$\vec{AM}$$ можно представить как сумму вектора $$\vec{AC_1}$$ и вектора $$\vec{C_1M}$$.

Сначала найдем вектор $$\vec{AC_1}$$. В кубе $$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$$.

Теперь найдем вектор $$\vec{C_1M}$$. Точка М лежит на диагонали $$C_1D$$ грани $$CDD_1C_1$$ (предполагая, что $$C_1$$ - верхняя грань, а $$CDD_1C_1$$ - боковая грань, примыкающая к $$AD$$, или грань на основании, если $$C_1D$$ - диагональ грани $$CDD_1C_1$$).

Уточнение: Если имеется в виду диагональ грани $$C_1D$$, то это, скорее всего, диагональ грани $$CDD_1C_1$$. Тогда точка М делит отрезок $$C_1D$$ в отношении $$3:5$$, то есть $$MC_1 : DM = 3 : 5$$. Тогда $$C_1D = C_1M + MD = 3x + 5x = 8x$$. Следовательно, $$C_1M = \frac{3}{8} C_1D$$. Так как $$C_1D$$ - диагональ грани, она равна $$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$.

Предположим, что $$C_1D$$ - это диагональ грани $$CDD_1C_1$$.

Вектор $$\vec{C_1D} = \vec{C_1C} + \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{AB} = \vec{b} + \vec{a}$$ (так как $$\vec{C_1C} = \vec{AD}$$ и $$\vec{CD} = \vec{AB}$$).

Точка М делит $$C_1D$$ в отношении $$MC_1 : DM = 3 : 5$$. Это значит, что вектор $$\vec{C_1M}$$ коллинеарен вектору $$\vec{C_1D}$$ и его длина равна $$\frac{3}{8}$$ длины $$\vec{C_1D}$$.

$$\vec{C_1M} = \frac{3}{8} \vec{C_1D} = \frac{3}{8} (\vec{a} + \vec{b})$$

Теперь найдем $$\vec{AM}$$:

$$\vec{AM} = \vec{AC_1} + \vec{C_1M}$$.

$$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$$.

$$\vec{AM} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \frac{3}{8}(\vec{a} + \vec{b})$$

$$\vec{AM} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b}$$

$$\vec{AM} = (1 + \frac{3}{8})\vec{a} + (1 + \frac{3}{8})\vec{b} + \vec{c}$$

$$\vec{AM} = \frac{11}{8}\vec{a} + \frac{11}{8}\vec{b} + \vec{c}$$

Вектор $$\vec{AM}$$ выражен через $$\vec{AB}$$, $$\vec{AD}$$ и $$\vec{AA_1}$$: $$\frac{11}{8}\vec{AB} + \frac{11}{8}\vec{AD} + \vec{AA_1}$$

2. Нахождение модуля вектора $$\vec{AM}$$:

Ребро куба равно 1 см. Следовательно, $$|\vec{a}| = |wb| = |wc| = 1$$. Векторы $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$ попарно ортогональны.

$$|\vec{AM}|^2 = |\frac{11}{8}\vec{a} + \frac{11}{8}\vec{b} + \vec{c}|^2$$

Так как векторы ортогональны, то скалярное произведение векторов с разными направлениями равно 0.

$$|\vec{AM}|^2 = (\frac{11}{8})^2 |\vec{a}|^2 + (\frac{11}{8})^2 |\vec{b}|^2 + 1^2 |\vec{c}|^2$$

$$|\vec{AM}|^2 = \frac{121}{64} (1)^2 + \frac{121}{64} (1)^2 + 1 (1)^2$$

$$|\vec{AM}|^2 = \frac{121}{64} + \frac{121}{64} + 1$$

$$|\vec{AM}|^2 = \frac{242}{64} + 1 = \frac{121}{32} + 1 = \frac{121 + 32}{32} = \frac{153}{32}$$

$$|\vec{AM}| = \sqrt{\frac{153}{32}} = \sqrt{\frac{9 \times 17}{16 \times 2}} = \frac{3\sqrt{17}}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{17}\sqrt{2}}{4\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{34}}{8}$$

Модуль вектора $$\vec{AM}$$ равен $$\frac{3\sqrt{34}}{8}$$ см.

Ответ:

• $$\vec{AM} = \frac{11}{8}\vec{AB} + \frac{11}{8}\vec{AD} + \vec{AA_1}$$
• $$|\vec{AM}| = \frac{3\sqrt{34}}{8}$$ см