3. Диагонали ромба AC=a, BD=b. Точка K∈AC и AK:KC=2:3. Найдите величину |DK|.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим эту точку через O. Тогда \(AO=\frac{a}{2}\), \(DO=\frac{b}{2}\).

Из отношения \(AK:KC=2:3\) следует, что \(AK=\frac{2}{5}a\). Поэтому \(OK=AK-AO=\frac{2}{5}a-\frac{1}{2}a=-\frac{a}{10}\), то есть расстояние от O до K равно \(\frac{a}{10}\).

Треугольник DOK прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора \(|DK|=\sqrt{(\frac{a}{10})^2+(\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{10}\sqrt{a^2+25b^2}\).

Ответ: \(|DK|=\frac{1}{10}\sqrt{a^2+25b^2}\).