3. Диагонали ромба AC=a, BD=b. Точка K∈AC и AK:KC=2:3. Найдите величину |\(\overrightarrow{DK}\)|.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому расстояние от D до прямой AC равно \(\frac{b}{2}\). Кроме того, \(AK=\frac{2}{5}a\), а расстояние от точки пересечения диагоналей до K равно \(\frac{a}{2}-\frac{2a}{5}=\frac{a}{10}\).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами \(\frac{a}{10}\) и \(\frac{b}{2}\): \(|\overrightarrow{DK}|=\sqrt{\left(\frac{a}{10}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2}=\frac{1}{10}\sqrt{a^2+25b^2}\).

Ответ: \(|\overrightarrow{DK}|=\frac{1}{10}\sqrt{a^2+25b^2}\).