3. Диагонали ромба \(AC=a\), \(BD=b\). Точка \(K\in AC\), и \(AK:KC=2:3\). Найдите величину \(|\overrightarrow{DK}|\).

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим их точку пересечения через M. Тогда \(AM=\frac a2\), \(DM=\frac b2\), а из отношения \(AK:KC=2:3\) следует \(AK=\frac{2a}{5}\).

Точка K находится на расстоянии \(MK=AM-AK=\frac a2-\frac{2a}{5}=\frac a{10}\) от M. В прямоугольном треугольнике DMK по теореме Пифагора:

\[|\overrightarrow{DK}|=DK=\sqrt{DM^2+MK^2}=\sqrt{\left(\frac b2\right)^2+\left(\frac a{10}\right)^2}=\frac{1}{10}\sqrt{a^2+25b^2}.\]

Ответ: \(|\overrightarrow{DK}|=\frac{1}{10}\sqrt{a^2+25b^2}\).