3. Диагонали ромба \(\overrightarrow{AC}=\vec a\), \(\overrightarrow{BD}=\vec b\). Точка \(K\in AC\) и \(AK:KC=2:3\). Найдите величину \(|DK|\).

Пусть E — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба делятся пополам и перпендикулярны. Относительно E имеем \(\overrightarrow{EA}=\frac12\vec a\), \(\overrightarrow{ED}=\frac12\vec b\).

Так как \(AK:KC=2:3\), точка K расположена на \(\frac{2}{5}\) пути от A к C. Поэтому \(\overrightarrow{EK}=\frac12\vec a-\frac25\vec a=\frac{1}{10}\vec a\).

Тогда \(\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{EK}-\overrightarrow{ED}=\frac{1}{10}\vec a-\frac12\vec b\). Поскольку диагонали перпендикулярны, квадрат длины этого вектора равен сумме квадратов длин составляющих.

Следовательно, \(|DK|=\sqrt{\frac{|\vec a|^2}{100}+\frac{|\vec b|^2}{4}}\).

Ответ: \(|DK|=\sqrt{\frac{|\vec a|^2}{100}+\frac{|\vec b|^2}{4}}\).