№3. Доказать, что числа 308 и 585 взаимно простые.

Применим алгоритм Евклида:

\(585-308=277\), значит, \(\text{НОД}(585,308)=\text{НОД}(308,277)\).

\(308-277=31\), поэтому \(\text{НОД}(308,277)=\text{НОД}(277,31)\).

\(277=31\cdot8+29\), \(31=29+2\), \(29=2\cdot14+1\). Следовательно, последний ненулевой остаток равен 1.

Значит, \(\text{НОД}(308,585)=1\), то есть числа взаимно простые.