3. Доказать тождество: 1+ tga * tgβ = cos(α-β) / (cosa * cosβ)

Решение:

Начнем с левой части тождества и преобразуем её, используя определения тангенса:

\( 1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta = 1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \)

Приведем к общему знаменателю:

\[ 1 + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} \]

Теперь воспользуемся формулой косинуса разности углов: \( \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \).

Подставим эту формулу в числитель:

\[ \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \]

Таким образом, мы получили правую часть тождества.

Тождество доказано.