7. Вычислите определенные интегралы: ∫(2/3 x^3 - x^2 + 2) dx

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \( \int_{a}^{b} f(x) dx \) необходимо найти первообразную \( F(x) \) функции \( f(x) \) и вычислить \( F(b) - F(a) \).

Интегрируем функцию \( f(x) = \frac{2}{3}x^3 - x^2 + 2 \).

Первообразная \( F(x) \) будет:

\[ F(x) = \int (\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 2) dx \]

\[ F(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2x \]

\[ F(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + 2x \]

\[ F(x) = \frac{2x^4}{12} - \frac{x^3}{3} + 2x \]

\[ F(x) = \frac{x^4}{6} - \frac{x^3}{3} + 2x \]

Теперь, согласно условию, нам нужно вычислить определенный интеграл. Однако, пределы интегрирования (a и b) в задании не указаны. Будем считать, что требуется найти неопределенный интеграл, или же, что пределы интегрирования подразумеваются как 2 и 3 (исходя из расположения в тексте, хотя это может быть ошибкой). Если предположить, что пределы интегрирования от 2 до 3:

\( \int_{2}^{3} (\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 2) dx = F(3) - F(2) \)

Вычислим \( F(3) \):

\[ F(3) = \frac{3^4}{6} - \frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3 = \frac{81}{6} - \frac{27}{3} + 6 = \frac{27}{2} - 9 + 6 = 13.5 - 3 = 10.5 \]

Вычислим \( F(2) \):

\[ F(2) = \frac{2^4}{6} - \frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2 = \frac{16}{6} - \frac{8}{3} + 4 = \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + 4 = 4 \]

Теперь найдем разность:

\[ F(3) - F(2) = 10.5 - 4 = 6.5 \]

Если же это был неопределенный интеграл, то ответ:

\( \int (\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 2) dx = \frac{x^4}{6} - \frac{x^3}{3} + 2x + C \)

Так как задание просит вычислить "определенные интегралы" и в тексте есть цифры "2" и "3" рядом с символом интеграла, предполагаем, что это пределы интегрирования.

Ответ: 6.5