5. Найдите производную: f (x) = (2 + 3x) / (2 + x^2)

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{2 + 3x}{2 + x^2} \) воспользуемся правилом дифференцирования частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = 2 + 3x \) и \( v = 2 + x^2 \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

\[ u' = (2 + 3x)' = 3 \]

\[ v' = (2 + x^2)' = 2x \]

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:

\[ f'(x) = \frac{3 \cdot (2 + x^2) - (2 + 3x) \cdot 2x}{(2 + x^2)^2} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ f'(x) = \frac{6 + 3x^2 - (4x + 6x^2)}{(2 + x^2)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{6 + 3x^2 - 4x - 6x^2}{(2 + x^2)^2} \]

Приведем подобные слагаемые в числителе:

\[ f'(x) = \frac{-3x^2 - 4x + 6}{(2 + x^2)^2} \]

Ответ: f'(x) = (-3x^2 - 4x + 6) / (2 + x^2)^2.