3. Докажите, что \(7^{n+2}+8^{2n+1}\) делится на 57 для любого натурального \(n\).

Так как \(8^2=64=7+57\), имеем \(8^{2n+1}=8(8^2)^n\equiv 8\cdot7^n\pmod{57}\). Кроме того, \(7^{n+2}=49\cdot7^n\).

Следовательно, \(7^{n+2}+8^{2n+1}\equiv(49+8)7^n=57\cdot7^n\equiv0\pmod{57}\).

Ответ: выражение делится на 57 при любом натуральном \(n\).