6. Докажите, что числа вида \(7n+3\), где \(n\in\mathbb{Z}\), не могут быть квадратами целых чисел.

Предположим, что \(7n+3=m^2\) для некоторых целых \(m,n\). Тогда \(m^2\equiv3\pmod{7}\).

Квадраты целых чисел по модулю 7 могут иметь только остатки 0, 1, 2 или 4: это остатки квадратов чисел 0, 1, 2 и 3. Остатка 3 среди них нет. Получили противоречие.

Ответ: числа вида \(7n+3\) не являются квадратами целых чисел.