3. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A(0;2;-3), B(-1;1;1), C(2;-2;-1), D(3;-1;-5) — параллелограмм.

Найдём координаты противоположных сторон:

\(\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-0;\ 1-2;\ 1-(-3))=(-1;-1;4)\).

\(\overrightarrow{DC}=C-D=(2-3;\ -2-(-1);\ -1-(-5))=(-1;-1;4)\).

Следовательно, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\): противоположные стороны AB и DC параллельны и равны.

Для проверки второй пары:

\(\overrightarrow{BC}=C-B=(2-(-1);\ -2-1;\ -1-1)=(3;-3;-2)\).

\(\overrightarrow{AD}=D-A=(3-0;\ -1-2;\ -5-(-3))=(3;-3;-2)\).

Значит, \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\). Обе пары противоположных сторон параллельны и равны, поэтому ABCD — параллелограмм.